出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 B& f; e( v  v; w0 n* [2 }3 {* z$ P
. `3 q# d+ ~+ {, o2。下边证明有没有毛病？
$ ^2 X3 h! e- A9 o" ~
3 ^1 k6 Y8 ^. q0 w2 j' |3 E: Y. U设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& J- R' C: o$ c& Y2 h3 G* r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 w+ z. S8 e% ~7 L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 w0 P$ Z( E2 A: `4 Wa=2a
* H; [" Z4 }/ v& l  K1=2
8 D" Q9 t! g/ }, W4 c1 m& q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 [: F1 a: h5 ]3 ^+ S& t
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 u; i' o8 G( W6 O8 `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) A' v. p. ]% w& P4 b% _% m9 e# J% ~" s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 v$ B, p7 |8 f  A0 e7 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

" ]) M5 [' R6 s) c: K2 t& T) Z6 b6 u. lProof:
Let n >1 be an integer
2 k- @0 m$ p2 m- }5 k& X$ V( y, LBasis:   (n=2)
: U% f( l  u5 P2 f/ h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) _  p/ I8 i' h" w: E% P5 kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 [2 X/ b% B( O& Z                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, c( u0 O( M9 d) y9 e; d5 Usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ ]% Y8 c5 W6 Y! |, WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ A- w/ u4 s% F4 f% h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" A# X- e$ r! t: ^3 r4 i6 j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 q2 S, T( F4 Y$ t& K4 n$ r% bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! X0 @& z5 S" V5 r' d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. k. j5 }: i/ p5 b7 d+ B0 j" p% Z0 q) Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! S3 g& U6 T+ M# t
& \: o' s# O8 O' j, g9 TConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  `' }: t, n- n. Q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# P4 A( Y+ c# W6 \
) A" y5 d* S- t$ K* L# v8 F! r7 ^9 I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 z0 q8 p2 k8 I/ W2 ]# cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  x+ Z6 u$ Q# f6 w
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.