出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

. Z! d4 a; P0 {$ B$ h- T2。下边证明有没有毛病？
$ h6 d( ~/ P/ q  l0 L; o) C
$ ^! x3 m# Y7 `设  a=b
8 ^' k* W3 Q$ P; S7 L" v" D5 ^
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
; U* F: d: R- g  C( A) Ja=a+b
a=2a
  Z3 @$ _, f$ U4 x! y( b1=2

* b4 H! i. x8 @. C7 u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  G1 D1 `9 U3 u  v  @# s
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( J7 Z! t" d2 g' h1 i* h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. O" `" {, }- n  ?$ s/ |0 Q4 g7 `8 F& J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% m$ T* r" z' c; i9 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& y* s2 P" z( F

6 S5 F( g* ^" y$ Z9 H  j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: C# L) U& z8 X. w* CProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# ?* g* T& X6 x. t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& P) ?  P& V; t; b$ g$ v
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# g! L- X3 c3 |4 @6 ^% H# b! Y                                     K^3 – K can by divided by 3.

" u( a# J5 o" U$ A8 v9 q' R' l9 ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& S' R4 }: W2 t4 W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 x3 y- a# h* \' x1 g3 G4 Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# I, k( w' I! U& Q! s1 K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- [6 }- m; F) q! O& @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 Y+ b: q4 T/ W8 c# I# S
2 u% E- i8 C% h  |# V. J3 b7 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 {5 T8 R' p* k% }0 V% ~* f3 `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 E: B' Q* d6 a, c+ m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 n9 {: ~: Z* a, v* L4 PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.