出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

5 h8 {9 ~3 A( v0 _: }' D$ B0 h( N2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
. y# l: k. T' U- u. h
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

7 c+ n5 Q+ E6 |* ma(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ }7 L( ~. z! L( v! ~: @- [* oa=2a
4 a3 a* y1 G, x& ~# h' g1=2
+ |  S1 I9 [% I5 S0 v, P' s
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; l( C# X, k* M) n& K5 ~
1）不能。比如1
% S$ o2 A  M6 x% N4 \6 R8 V- z% {! A5 |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& N- k0 N1 f6 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 _# [1 L$ ]: w9 }2 T& g8 A" j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 N  ?4 P& m; I1 V/ z0 }7 U, }

/ I4 L: i) Z6 [* |2 A: ]0 f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. U6 q$ C7 n  Q) x1 f         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 ~2 @: t' s$ S. W  x. |
. _+ A  p6 _' O, e, V0 T# }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* @! K8 e  m, N/ k0 F' e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 ~/ }3 F% E: F1 R, d1 @: O3 oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" y+ ~3 P! w! s9 eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& c" i& x0 ?8 o6 R) t+ q
9 E. \" b& y7 T2 R- h3 Q* x& D4 _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) A3 B5 r7 y* Q5 V0 p- r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 z$ V# F$ I' l3 H' {0 AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 O3 z3 w6 ~+ m$ \! O! y" `SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.