出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* l  n6 n! h9 S
2。下边证明有没有毛病？
0 W. r2 s7 W8 F& w- v# @5 _7 \
5 |" B* L! K' d  P1 g4 ]* s# y设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# B7 m: m6 Z0 Z# Z
/ l6 k4 R% {+ q. V8 la(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
4 G$ n$ s# Y* d/ a0 \& U% T3 u
+ J7 n, N! w6 k证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. j/ ^+ q7 {1 v( E" ]4 U' g# g: \
  K1 F2 m1 w/ k* i; Z  V/ B1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 V+ J) d& N% q7 ]3 q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  U' z8 A6 _4 z& Q/ Q( v& C. \+ s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 j$ r4 l, A* o) I& n4 {/ [" q2 u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ O% y& b3 O% s! L* o, ?* k; w

7 a, |0 m; n% H: T9 E为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: o0 j* P& D, wProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
' x, Z" s& j( S: k- L( R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 n& X1 M: U2 Y- g* m
0 s9 L; Z+ S1 Y: n. QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

) q9 |/ \! _, B+ FNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, n6 X6 ?( q5 y* L& L0 L; p0 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, K/ D. P/ Y5 o. |Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; }: X5 r! K* E8 V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 ?4 v  T' {- m; y  @0 ?
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" v! H  _) E. U2 n( t6 H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 f! B5 l6 c: oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 z' j3 `. J" \$ @( O7 l! |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.