出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 }5 M  a* e8 p2 O
2。下边证明有没有毛病？

8 r: b, w2 S2 Q+ s设  a=b
6 T9 b' Z$ y+ A) q
- u- B9 z; j' L( O+ ~* Z" [则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) G" ?# g/ {& c% S6 i% K; ~+ c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. T) @& @5 m2 a
" _/ s$ F9 V4 f& ^, R) ha(a-b)=(a+b)(a-b)
2 U( s4 a/ A& {+ F0 O. va=a+b
a=2a
* z# E" c$ D" A1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: }8 I' p8 J4 h" g7 S4 [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! K) Z9 D& z: @% Y9 B2 V$ u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ s9 J* l: x% k8 h* Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

0 e+ y- F! |5 Q% P5 p* DProof:
Let n >1 be an integer
2 o" _; [2 l. RBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ W, c( K! k5 i2 T; f
* J7 P: [  U& S  z2 hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 r8 I( @$ O5 v/ h1 zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ [# P3 j7 }: S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  I- z% Y+ J; k& I$ b1 \0 c  ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 }: O9 Z+ \9 k  q+ O3 I3 N: p3 {                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ `, u3 r% S/ G% p0 j% m
: c) {4 |4 Y# i) e& eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 ~( B! `. ?# u! \! Q: x+ B
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; r! u8 R% i2 r, Z! \2 o( JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.