出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! d+ e9 s+ W7 l
9 G! n$ U: R3 ?: }# c9 ~7 |$ x2。下边证明有没有毛病？
& y2 u( _& `1 x/ v# e5 a
( w6 g: @& p1 q' t. `设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 e& S% i; {. m" l$ Z2 t# i- Na=a+b
" [1 w5 o6 K- H- Wa=2a
' n0 r1 o' P# Q  q. @, }: C1=2
3 U" j) ~( v; i# n$ h5 t- t
% T8 s( r4 `: ^! v/ A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 I) h5 i. F+ }1 \9 A) w! ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* u' x6 Z" l( p/ U  {' d) C0 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 Y. D& }( H! ^, E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 v  u8 c! B1 W1 a' N, {4 Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: `7 Z) D9 U4 l. t: @- ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) ^- L3 c) s# A# }% ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ `2 B% H0 w. ?# ?( c6 ^. h( yProof:
Let n >1 be an integer
6 j( `/ @6 T# s+ XBasis:   (n=2)
9 }/ b9 q9 Q( F. T, c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- \/ b& [4 I' S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ ?" ]/ J! l: T5 H+ zNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ e( X5 _3 C# c- A0 \Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ s; `  a# N8 t, O) |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 j' R+ p: _* g2 @% [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 g- r2 }& m/ i  o( a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" x  q0 Z4 o8 Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. b! ^8 N. J3 X9 P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 w! ?% _& q/ M3 y
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( i5 I( T( `6 H! E2 d  q  g
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 U: E, C0 @- {# ~3 M
5 j) w3 [* y6 `& @. X8 gSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.