出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) |/ K1 G0 B- n0 R) x
2。下边证明有没有毛病？
. C- J) ~3 ~8 ^5 x6 K2 }
2 K! w7 l6 B0 w  \) z3 {设  a=b

8 X; h' {4 e3 G" }7 B6 N- m则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# T7 F  q9 c2 Ga=2a
2 q" ?$ O# H- I& h, i% b1=2
' R' n3 k: e  K0 _
& L! u4 P2 K5 K( K) c" }3 L* j证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' m$ F" T% F7 r3 A# C' I+ ^
" x6 ^, V2 p8 o2 M- {4 y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# ~5 x% l" H4 h! C0 q0 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 ?+ M! U7 ^4 S1 N# l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 V- p% m2 u  E/ Z; p& I1 m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' x" j( ?( P4 W/ T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 T# K" g' d0 ^3 r1 u3 n2 A                                     K^3 – K can by divided by 3.
; n8 q8 q% V# G% e
5 D7 y( F9 u5 r& \0 cNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 K, u/ {8 s0 F( r0 I( d+ f- Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% b: m% x1 t* F$ T: G2 F' c" }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 \7 _- [' q8 A: B, X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 ?9 |! k! G( b4 R
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' n0 g8 O2 D4 D7 O- T! a# Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ x# g$ ^& B- W/ w% V7 J" \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.