出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
+ X- Q' K$ U6 F2 [( _+ m
设  a=b
6 D! k: p- k8 P  I  _7 B! w; V" B0 L
5 i$ T7 N/ d  j' k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

  D  {' ]1 Y3 x) n7 {* X8 Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
" h2 T8 Z  Y% y2 Y$ b! xa=a+b
( u7 D0 ~- P3 ]! M& _a=2a
- b) ?; A7 l/ s% P6 e  [0 C1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( y# J6 l# p0 l9 o  U  n
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, _/ T* Q$ v$ ^( v( K% E. @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  U* D! N3 m, V5 G0 {6 g! g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ R" Z$ Q$ u9 f% \. f2 I' C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 P$ c8 y8 Y4 l0 ?# ?2 V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( e, n8 y' \$ g8 G8 y6 g

: `: M9 d7 f. e3 y9 ~为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: B, C" i+ W4 q% i5 f
: U8 `) n% z9 B- X9 \, ]Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 E) @' U: L  TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ Z( W, n4 ^) I9 [* J5 w& ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: ~0 t8 U/ y0 k. H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ w9 k3 F0 G7 x* e: S" y' W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 J( }+ T% m+ P+ v/ \: q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' q5 u5 p7 T- H# x; R5 Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' \& U& G. N" u1 j+ i1 @3 P5 mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! g6 B3 U! I4 F. i" p                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 ?' |; a: D! O( \4 x- P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 c- [8 N9 u" o8 T6 D! e+ ^, H
& R" r& n& Q) o2 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 P& m3 M0 D6 V' X
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. f/ X- k5 a$ C
5 D  O6 j) _/ V" v; hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.