出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 ?: d! q, h! V- W# o6 T* u
+ n/ \7 Z2 K7 S2。下边证明有没有毛病？

" J1 D$ u$ Y! a" p3 a/ j7 E设  a=b

6 O# i" l) [; a1 r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; }8 R0 k- N5 y9 J' T, I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 W9 B+ O+ T1 R( ?" wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 d* b- H7 H/ N" ~; A; F& O1=2

) `  Z* P/ {9 w& X- E$ ~# l证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* d2 n8 [/ O3 w9 L0 `* B
7 ^6 ?, [6 b1 ~$ R/ E1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ }6 G* q2 d3 T1 K1 Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 ~! I4 O% p! S- a7 E' H

, r) n) t# j3 Y) D& b. t9 y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" Z7 `  S" k% Y5 B$ [4 Z( N
1 R4 w2 _; O2 i7 E8 E9 O, I5 \Proof:
Let n >1 be an integer
5 d& @  i. X. O& `Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 X& x* D3 [! S# OInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 l3 Q6 ^' c! ]; K7 ^2 c# h/ P  m3 d                                     K^3 – K can by divided by 3.
' [( ?3 T/ Q  _  T" ~
5 s/ w8 u& ], ~2 j6 G! v) `) `4 gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 `7 x( r$ g, Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 M) i* A! t' Z: q3 b) l0 t" A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) R" {" v# D2 _' o                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 Q- E4 r2 N5 X5 \$ z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ E4 [; C0 [8 `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. `+ \3 ^: a' A/ R4 X9 I) X  ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 s6 q9 Z% a% V4 w6 r" y# O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% m- Z, q) Q& @5 B! I" Y/ z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 x. C2 {) A2 v- x% o$ F% uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ ]! X/ ^) o8 ?) g8 {' ^0 O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  K' N5 l& \; M- d1 ^
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.