出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
7 f8 p7 P9 a5 |1 M0 c8 e: X* S% C7 G
7 a' y2 d& |6 [9 t7 j# b* g& S设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" X) z) _6 C5 c9 x$ M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; _" o& Q/ l7 O9 }
a(a-b)=(a+b)(a-b)
. u0 W- T: C! n! c; `5 _: b) ka=a+b
a=2a
7 q) }2 {+ A* j% \6 n9 d/ r1=2
& c, n* ?1 _" P: |9 m5 X
6 `5 Y( d7 `" z5 o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, }; c* M4 \. l/ `" D
0 Y5 N) k7 E( `1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 U$ l; c5 L- U1 O% s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 }, m/ e/ z* v6 h; A# A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 t* R' G0 ~' J) _4 g- D# }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& S& E! D; C% Z) j- t! t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 a' _. d2 b$ c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ k- r3 ?3 S  I, j9 _5 F4 W" kProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 t  _' u0 b' g7 Y. }) j1 Z                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 l2 b# |$ j7 V( |) F9 U7 V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. K' v/ s! o7 G' Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 b; X' ?0 Y% W0 G% i                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! d7 _- r' L) G9 k7 }6 w                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% V0 A9 z* W2 Q; ^8 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; {3 V. @* Y5 q1 t* Y; Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' c, J4 Y5 I8 K5 Z) `* o( k" o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( z4 o& y4 `) H( k: a+ V# ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 C7 M3 h2 ^8 C! L7 ~1 \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.