出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 a$ [  I* S) r. b% I2。下边证明有没有毛病？
0 ?9 h) `7 f+ t' N
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 d6 @( O' G9 z$ B3 W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ g! N( n. M. u7 ~1 Q6 O+ j
a(a-b)=(a+b)(a-b)
! {0 P: V( _# N: |3 S, J: b  Pa=a+b
a=2a
1=2
" x9 ^6 z7 m8 `
& J% H; j; k* \5 b/ R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 \5 N' w  p5 d$ e4 `3 [" f
1）不能。比如1
# [8 v& \, ?: T# D- W( @) L) Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 n; z8 _6 a8 V9 u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( u* k. i7 S% ^1 D
# @% z( m. c& B! K, Y2 kProof:
% L; D, z2 `, mLet n >1 be an integer
* ~( g2 ]  w: G4 P. x( E/ c+ l; }4 |$ VBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: M4 V& D$ _8 W2 p& J6 \2 H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 ^7 B; g% [+ F! U1 n2 P3 A: nNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. g5 T" c5 U- M; l5 ]* dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 I; j' X5 B) A6 v: kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 p0 z  x4 X% [( e. [8 V% {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ P* m& L& l2 @- s! V2 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; }7 c2 k1 r; r' O7 K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 D% j# x' p/ C* A0 t. S# ^6 i- r: X; p
* ~! [2 f, r/ z7 d' }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, J6 x4 ^) d7 T
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.