出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- y: T$ W5 I6 u: j2。下边证明有没有毛病？

2 r) I% W& C" |( {# Y/ e1 y3 t* i设  a=b
  w% s$ b% W5 k1 @8 e# O& B+ `
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
9 w& t- b! y9 s9 X5 |, ~/ f2 Na=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- p6 Z9 B3 ?: k) H  r
( u5 _# d+ w) a$ t% o) i1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 Y2 i. }5 [/ L2 {, b. r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 P, L2 U& y) W/ |+ `. g) c1 A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& I1 }/ ^  H& G  n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 q% o4 ]: N  T7 I  Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! P0 R% U" D& H  _* pProof:
( [- ~+ \  R3 @2 s' j* Q/ c% |Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ C' ~, q! M$ f. s7 v
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ f& S8 _, g% D1 R3 ?+ h+ s6 ~/ P                                     K^3 – K can by divided by 3.

, C' Y- E: @6 n( e; h) m: {+ \- T+ ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ {" M, K: v& ~" T2 G- s) k, dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 n. N3 A7 r9 N6 }1 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, [5 q2 B' }* {* O) {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 Q4 [6 x+ l$ l3 u, d' n4 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  l5 T; H# V6 |8 l6 C) ]4 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 b) _) b. n$ g& S3 K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ Z6 y: W6 \1 g' h3 F9 m" M; m/ ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& a0 h4 V+ Z  F; a4 o8 ~/ B
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ `& l% K' w" O0 w; O7 Q+ L$ N# v" M2 IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ K; v8 T9 A  O/ F. t% n9 h2 ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.