出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: g5 \& Q9 n# n
2。下边证明有没有毛病？
( g, D4 M8 L9 F4 `! S! S2 n
' S7 x4 o$ e! |0 f$ p7 {设  a=b

) |, F4 ~, O9 c则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ @$ x  H$ H0 ya=a+b
9 J, @; ]- `+ D$ l# N6 G  a% ~' oa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% P1 @* t1 ]- [2 H' L+ Z6 L1 o
1）不能。比如1
3 V$ c5 @" V! [1 h' m7 c/ A; S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 x( ^4 L  z" z- z4 M! H- r7 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 L' |2 Z" N( i! l. b8 u, G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% F3 n; \% c4 P( |. Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# F& R+ S$ Z, M  lProof:
% m$ a3 s, f& X' x  HLet n >1 be an integer
* N% L0 t- V: ~3 B, q/ cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

  }" N0 h, B2 ~( ], z9 bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  ~% T6 A5 x$ o8 k                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ c  ]5 b' M: o) H6 @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 w0 S# [" ^0 P) ]/ `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. h% o4 t) R6 e* b  A" k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 a) Z7 a" w: H( U: X- ]6 i' jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! [" i+ _! M' p: `! Z4 y+ G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- H( V7 u& w( e# o) i4 wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 Y# x; }% D+ K' S. b- c/ `' RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 n7 r! H* B( X" s+ d
1 `/ z/ @2 f+ R# S; k  H6 ?SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.