出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% K: Z. G+ B4 y2 s9 e  v2。下边证明有没有毛病？
% ]9 L, g0 e- Q( d3 i. z; i7 x
% t7 M7 P6 H5 r# G% f1 {% d) C设  a=b
4 i; x# |3 I' w! k
* x8 s& `% H/ n( N  ~4 a2 o/ H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 v3 D% g; N  a/ G: y  q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" S' J* W* v2 n1 T
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* E- p# g7 V! G4 D; L& n) oa=a+b
/ n) E7 d8 s; y7 L$ Ya=2a
" Z+ ^& u* e9 ]; Q. k1=2
, v* x9 _) P0 Q3 b2 U5 h9 v/ [
- {, E8 O' }+ F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. q6 G8 A8 j' n& j& J
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- c, B; V* f% F6 K6 W* k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. U4 b; d9 W* S% v# k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# e) A# s4 k* I) g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  ^4 Y  M5 B3 _% i! \
: r/ w! }( Y' `% s8 ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ _$ {9 l; C, E8 @' wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 D" f+ \& s/ o& A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ K" U! f' b+ s" m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 i: s- ?2 @5 Z2 q) j. x5 QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ o( T' d( {2 S, n2 ~! \
: W& m& ~5 F6 |5 T7 u5 {; Z! ^; w/ ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 ?' G& M+ T  ^$ a4 k
) u: E" p9 z- S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 |& U6 a3 {! W" y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- z6 R) u3 H8 ]( |" n7 UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.