出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 k9 I( `: L3 ]5 U- y
, n: z; _! c9 Y8 W; p2。下边证明有没有毛病？
; `/ I: Z/ m* K9 `, H5 v
设  a=b

! |4 }2 G7 d$ B+ D$ o则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 e% f( T  R# w. B, \8 A1 T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 J2 R  S7 _3 E- b% f
' f( s: Z, H2 v$ {+ e1 Wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
* ^, d  X6 M2 `' m" {1=2

. Z) }6 d7 _2 A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) S' T  t8 o; r5 ]4 W1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 \& v" R: N5 Z9 T' f# n- k; k; p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  Y! E( Y4 r4 ?. h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 K1 J1 g2 f) p. ~

- v* y$ T1 _# m6 ?1 C! R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 m. R2 l+ d/ F; g1 N" T% `Proof:
6 D: u2 ?" C' ^5 s8 @$ ]Let n >1 be an integer
1 Q) C1 t( Z+ [1 i* ]; ZBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( A$ Y, q7 Q$ q# y) d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, v  A% T  e: x; y  p. {' @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% p. ?* f1 N+ m                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 s9 K5 b2 S8 L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 f; O0 [% C# Q2 G$ B4 X3 NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; S  y1 B& x7 ]7 `# e, [
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

0 U3 y! G% s( U+ j4 z% ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# P3 c7 u. C2 W4 k% d$ t" bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( a; q1 o9 l/ G9 S- [: w% [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.