出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 U9 G$ O3 D( N& g( l! t
' y6 u: w  J* {" x/ G7 @: \* {3 `: |, G2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

. G6 O4 V3 {! s% M* d2 t3 m, Q* Q4 W# O则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) B3 K$ x+ r2 e" {' y. |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! l' F- W' e& r8 h% na(a-b)=(a+b)(a-b)
; E4 x$ B' E( B/ u0 ra=a+b
# ^: ~$ S. L8 |a=2a
1=2

$ N$ n# l& U# u& @$ [证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, ~" `- `2 f3 D5 i; i% X# m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 V; a0 m4 ]- U2 w" ~: L/ p( X; V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 r! w0 R1 v0 {% K6 N& B# t' H  d

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ G/ ~9 u& L2 |: G0 T& i4 P% b! zProof:
& J7 |6 Y: L2 `3 kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, Z5 n, L6 A+ L; G$ T6 T# |2 X
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, _& k5 ^6 F7 Z2 _Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) \) l( W% C! y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ I9 J( M% M: D2 k  E; u9 ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- {2 e* C& F" j' ~. W; k) K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 a9 Y/ k9 v3 s' r8 J
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; `# S, k  A( q; O2 h3 S
. Q* Q5 n% T' j, v( e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. C) r& i% K6 n" G( q+ X
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) _9 W4 y) P6 ?$ s% l0 v& X! `SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.