出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ m1 e9 ?! p- w% t
2。下边证明有没有毛病？
! \$ i# f9 D3 B5 a
* i; n  H+ ]. l设  a=b
0 N/ ?0 |* H% ^4 F
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 I: d9 n+ g3 P8 a: j两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 a+ Z: Y/ }0 }" R$ X; z1 C1 pa=2a
1=2

1 o6 \0 z5 N# x9 Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 q% {' p5 y/ l9 |9 S
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% a* O+ G: s# K/ h* \) _  n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 f4 N7 H! U( I: s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# d. _# _1 a$ o3 p( L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 t( W* U# K- a+ |) O" [' T" \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  i% K. z* P% Q7 N  f0 y/ c

+ ]+ h  w7 |& [" }. L0 o/ a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* Y) Z( I4 @3 r: s; ]- V: A
; `# N5 V) K) r! q! _- PProof:
% R9 e0 _) B. vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ w3 T$ r; @& N' B4 d: g
9 e5 P9 A5 m. f8 [- f! ~& d3 yInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ h  v; P2 k% c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 g. u; E- m8 B3 x" `" _; Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 o6 u4 x: x$ Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

$ o$ r. Y9 h# A6 ~4 ?) @Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  K# D% @3 h; Q- ~  o3 J& g
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& u4 c' X3 Z1 V- t1 z) ^
- S  N' k9 w0 _) n' n% GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.