出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
" v$ m- E# h& l: d- ?9 q
! v- p$ B! j" |2 Y4 o+ c7 P设  a=b
) `% K  X# ~- D
! n7 o$ P8 ]: F: z) ?) D. h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 q" M! I; G# p5 e: J- \  z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
& ]* C7 P1 I, g2 B! x) v+ fa=a+b
a=2a
1=2
: t- }9 z  S, B: _! E
: W+ D1 ]8 }( E7 G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- O! U* ^6 g8 h4 {
1）不能。比如1
4 [) d' L4 `2 O7 G3 T+ ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' R5 G# J- p+ G+ f) C" a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 Y, R4 o" m  [7 n2 p5 n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  B; q. u. i# f0 \; P3 r  T! Q" |2 PProof:
' t. f" }3 }5 W& R: ^5 u. SLet n >1 be an integer
! p1 W4 i% N+ }4 V0 e5 v: x- t6 g- TBasis:   (n=2)
4 }1 P3 m* G- m5 o8 f         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: z0 R% O: F3 k0 }5 n9 {
+ y- D& b* B, Q* ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 N' o& I4 L% qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. n0 q  |& H! w3 V2 m' q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. n( W/ Z) ^0 d0 i+ ~$ I4 U0 A
2 }& u% X* Y& X$ s" b2 A. g) G. j3 ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

, b% X+ n  R/ Q# B; c4 `6 B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" \4 _" y3 i% ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ H$ h# H5 o1 VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.