出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 ~) d& x( |* {8 i/ ~
2。下边证明有没有毛病？

$ z3 M; z5 k+ u; H设  a=b
; K. i5 \% K0 C) B" T! F! L. z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* {9 \4 Y; m% A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' l4 c# ]. W% W: g
) T8 H$ H8 L% t# J4 n+ Qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 s4 X( O" x" q  l$ c1=2
. |$ S! t6 m& w' _+ G0 C5 Y
3 K( N9 H$ D, F; C& X% B) d, I证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  P; C8 k: }4 ]3 e
7 ?" n" g' r2 i; U* w1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ K5 }6 V* o; H9 l* ~% o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& R/ Q; A' u1 m. ?7 ~% d

! M4 B3 Z8 i( _% }, A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) l" R% Z4 K, g! a
0 r3 ^; S3 ^' {/ B( t# _Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# w5 e5 H; r" T- _9 Z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" f4 W( b, g6 n9 ]( x8 u4 KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) y  l6 v# U% h+ ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) r  W  l0 G! NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% s, h. E- {* d' [8 [, v  Z& I' i                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ @- Y+ h4 C) ]( ~9 c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 Z- e& V4 u% q: \! ?5 eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ n( c$ c6 ?+ B4 g+ W" r* E: w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

; i- n9 h6 ~, O3 L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. \9 D0 M0 O/ R9 ^6 J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.