出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) ^9 e# V2 d* }" V3 r
2。下边证明有没有毛病？
4 j8 Z' T+ J: u6 H
. _8 V+ F1 |% j$ A5 G设  a=b

7 H3 D" x3 l1 S  y, k3 T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& P$ `( B. ^0 L  x9 U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1 {$ H: z2 m# f0 X" c6 ?" @- T3 ^1=2

5 y3 Y6 a4 v9 X; j! `) i. \: B证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  {! ]9 X# J0 s% c# I$ Z
  R3 [, t2 c% p' b8 o1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ z. J& k- U) ?: _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% `3 D% X( L" b8 _6 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 M8 X+ m9 Z1 ]3 j8 {0 w  I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ l& E/ }$ I. D; B+ N: S% p
Proof:
Let n >1 be an integer
5 T* E7 C: }, \# }5 Y7 c! b- x5 ]; BBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 H# N. [% x2 b2 S& N  e* r) J% G
. a2 M' M/ x* L2 l/ a( lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" A: W( o2 a/ }! \                                     K^3 – K can by divided by 3.

( S5 _2 g6 C& W7 A3 N2 Y  VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, J2 c, j( ]/ c2 e3 J0 \% tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' R& i  V/ k/ C7 T. q: f% D) W  v4 `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% q- {3 d5 }9 c/ [5 A, J                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- Y: E9 y& P3 I& Q& Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 N/ A0 @) ^2 [0 |" A% T0 r/ y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 F/ W3 L, U4 {$ _9 y1 `; e9 ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ n; i5 z& X5 X# w9 w% h
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. u) w( O. Y( O) B, ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- T8 \0 i# j2 i2 D  a
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.