出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% \1 I- v( ?+ |( d4 `9 z( f2。下边证明有没有毛病？
6 T) q2 G4 ]/ U
设  a=b
8 u/ Y( A5 x; `3 m! v, m( J. B
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. e8 F) K0 [# J- Z* M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

1 {% n6 Y- z# t3 }a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

3 M5 x) h( v3 {/ ~& ^8 s( s+ i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ w+ e: h; u/ B9 A+ S$ O. x
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* B9 _5 }7 u6 Z7 S' ]7 [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: ~! P6 u; c% p* r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

- o3 d  `' v1 k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. ]/ r! y1 y' h- ?1 F* D) C
1 S( R, {4 M. W/ xProof:
2 Q  v: {" j6 o$ ^6 H) Y6 t- R1 FLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- x1 u8 M! g2 Q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 W. @+ u' N$ e. T
2 x/ ?/ h. W( PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ {, F/ {$ e, I! C, ]) Z                                     K^3 – K can by divided by 3.
" o2 X0 o2 _" \5 \% T- }5 c! G  n
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 Y" d+ }$ B& C- S! @* d3 T, sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" C/ y& G% ?. M" L8 R7 g! Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 I* o! F9 l# {5 W1 g5 z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: h7 |9 ]& `3 F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( W4 U) i9 p/ O9 [) D, r5 F+ O+ i8 r
* E$ {$ z# C! {9 _. O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( ~. \! Q* x1 u2 }( q2 D/ K: p
* P9 T4 F+ j/ ^7 P/ k+ HSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.