出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& X. E" c9 Y* Q% K
  M% i( ^8 W# H# p' ^2 `% i% F! i1 S2。下边证明有没有毛病？

# s& d% W4 v* W6 z1 o9 z) k! h设  a=b
9 l! t' p5 E- g2 }* t5 u
9 t4 p2 ?8 C7 X- k+ M则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& ^2 P9 R% s1 F6 j$ q" i( N  s1 m
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# T4 b2 b# _4 Z% ?a=2a
4 ^$ E) b' L8 o: F" |" w# q1=2

* W9 t' N' v- s. ]; I- C7 ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" g# Z" h/ A$ W1 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( M! @* I0 E* u6 y. Y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

( x2 @( S7 Y* f7 h8 v7 a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( ^1 J) t6 H4 r- {( _+ l  {! E
8 n8 b7 z# _1 D, o1 eProof:
& @( G8 P, |: ]Let n >1 be an integer
9 `; C6 p0 f' }7 p% ZBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. v6 S4 V4 D" K, {/ p8 |2 T( M; P
% ]- H# {: A! h, [4 D" \' D4 ~& gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# o* x: r: t# z
, f+ O) a; {5 K, Z% q4 L- U2 eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 L$ g# K  B1 s6 R3 }) `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  b2 m, j9 H6 ]) H9 }6 N/ D* g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ c: c- N/ E: p4 b- I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. J+ s8 h0 e1 Q# H% @! j& h. C) `. VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# ~/ a  j) `& c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 }- w; h' O& z# \# r
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 ]$ {- P+ p7 x* b5 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! Q% a# Y7 c% @- z' mSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.