出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) M! [) e8 a6 U' u" d, @7 T2。下边证明有没有毛病？
+ z# G+ f# F8 F- g
设  a=b
3 e. h( b/ o7 Q$ X& i) g
/ \& o9 [/ ?( ?8 o则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 g% C2 K2 Y8 x+ t- q/ }
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 H4 A+ R; N% |7 V) Z& V0 a7 j' Ra=2a
1=2
& T) k" Y+ _  y9 ~& H
" U0 U! P! }9 y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ ^; c, A, p$ t6 t0 Z5 T4 V2 S9 K  [
& v% z7 i' p# D8 x) B2 ]' s1 ]1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 g* I) B7 N' O1 `4 c4 Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: h5 K  T+ i% l6 _# V& m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 [1 I- E2 I* Q4 p8 m7 X" N8 D# k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) c4 G! P. h1 V/ q( `$ x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 `3 w! ?0 i0 z7 F" X1 p
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ r* D0 B% t6 s7 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ Y  ]% c+ T4 n' mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. j5 S& |5 e& V7 @- \
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" v2 w& r4 r3 esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 t9 r/ Z/ |/ I+ r# |/ u" O) h# b                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 \6 T! k* E8 y' [. q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 Y# `) s5 _9 u( v* W' A. @8 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ i3 S( t: g) M: O/ _4 n3 X4 b7 C" \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# [7 j# ^: A3 b1 c8 d; l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: w. L' Z+ |6 ?7 d8 K- }
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( u# i/ O0 y; ?* u5 W7 J6 ^
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.