出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
" s, a5 @) B* E) l, a2 b
设  a=b
; m+ S' L9 v+ i# b- O
. B$ A9 m% w: d- A3 f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 i  N1 E6 G+ z8 ~) @1 k$ m! y, N
8 }& v5 K6 V+ {, Ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
; S9 D4 h9 M& n7 V5 {" b' |. ?/ Ba=2a
0 Q7 s5 v" b& a7 g& z- C' N8 A6 ?6 s1=2
& {7 F" `  s3 E# J) E
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 T9 ~% E" L! L% Q
1）不能。比如1
" e: `) g" E+ e2 W/ d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* d. T& L. z, z: _% f) [% Q! B, e, W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 \2 i/ Y$ c8 v. R0 n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 K7 h/ @9 U& o4 j- Q) V2 T0 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' l5 q4 U! ?- A$ k

. L: E) m8 |- T, T# c5 o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ b! M# A7 G. f& e& P, @
Proof:
" T6 k8 r' s. j" m: }+ kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. z1 u/ \- |" F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' a) z! L/ _/ t0 k3 q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& ^$ E+ R9 P. d+ _                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 _6 U2 w8 o* \6 i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) r) @" h& f1 ^0 p( L0 Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 X+ Q8 }5 w8 S5 u% Q' E8 i                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 u# m. m# \) q# Z, Q* K8 U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 e! F5 I& V& x$ H0 N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ z' U' P4 M' lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ @1 l7 A. i7 F! V  z* x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 R: r2 a2 l' b' TConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! j7 |4 E3 W% f
5 A9 F( n8 z) A7 R. z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; D; b7 @; a( Y; Q5 ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; H9 m% q% n) R0 X" T+ y" ^0 {, f0 k/ A
$ `' _8 V4 u" w9 YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.