出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 j, e7 R; H4 i8 }7 R* b* H. [
+ [1 s1 O0 G* R0 u3 d9 a则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 Y3 i0 u, ~$ f2 z; g2 a
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 O/ U2 h' o! d$ Q4 Y- N1=2

- D& ]9 G- T( c; O6 E0 A6 R6 t( X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  k$ Q* _: Y) k) [
6 W' n' y7 n) N9 C; w  A5 e1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% l4 F, Q+ `4 B% {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: [4 N) u5 @$ q! N! c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, Y& s0 i1 i+ n5 e/ I4 I- {看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 c7 n& O) y8 r& ?' |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
% `! y) q) O% J( a, }Let n >1 be an integer
8 ^, d4 O; ^2 T, ?; v3 h8 d6 @Basis:   (n=2)
' _- t3 n( I$ i0 I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 y) F. r' h4 p9 O+ g/ _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; @6 D* }7 P: p1 \) |% Z9 Z                                     K^3 – K can by divided by 3.
! _% W" z6 g# O4 ~3 P* \2 M
0 w% ^& u2 Q! QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 K( K) e1 o- ~9 D* @- sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ b' ~' c3 I' C% r% ^( e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 }. B& Q/ r2 Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% i2 e% h4 L! }$ cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  ?5 Y9 W' m. A' W                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( {! W/ ^$ w& m) K( c+ v: |4 }3 U
# T1 q; X: @. [& p- GConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 n, w4 P0 Q/ ]& D
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- A6 k( \3 f" U6 ]2 N# H" Q; i
% Z6 w. z( P/ s% ?5 m' M第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 _0 K5 ^. o( j- ?0 t; Q, g+ |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.